Dấu của tam thức bậc hai – lý thuyết và dạng toán liên quan

Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0

[external_link_head]

Nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c$ = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

f (x) = $a{x}^2+bx+c$ 

với $∆=b^2–4ac$ (biệt thức của tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$

và $∆‘=b{‘}^2–ac$ (biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$.

Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai

1. f (x) = $x^2\left(x–2\right)$
2. f (x) = $x^2–4$
3. f (x) = $\left(x–3\right)\left(x–7\right)$
4. f (x) = ${\left(x–5\right)}^2$

Đáp án: 3 tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai (Nguồn: Internet)

Cho f (x) =  $a{x}^2+bx+c$ (a khác 0)

kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0 ta có

S = $x_1+x_2=\frac{–b}{a}$

P = $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” (nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a)

$$\begin{gathered} ∆<0\to a.f\left(x\right)>0 với \forall x\in R \\ ∆=0\to a.f\left(x\right)>0 với \forall x\ne \frac{–b}{a} hoặc a.f\left(x\right)\ge 0 với\forall x\in R \\ ∆>0 thì f\left(x\right) có 2 nghiệm: \end{gathered}$$

• Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f (x) trái dấu với a
• Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f (x) cùng dấu với a

BẢNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Dấu của biệt thức $∆$	Dấu của f(x)
$∆<0$	$af\left(x\right)>0, \forall x\in R$
$∆=0$	$af\left(x\right)\ge 0, \forall x\in R$
$∆>0$ [external_link offset=1] $Phương trình f\left(x\right)=0 có 2 nghiệm x_1<x_2$	$af\left(x\right)>0,\forall x\in \left(–\infty ; x_1\right)\cup \left(x_2; +\infty \right)$ $af\left(x\right)<0,\forall x\in \left(x_1;x_2\right)$

• Cách xét dấu của tam thức bậc hai:

Bước 1: Tính$∆$, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai

Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu (trong trái ngoài cùng)

Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,\left(a\ne 0\right)$
$∆<0$	$af\left(x\right)>0,\forall x\in R$
$∆=0$	$af\left(x\right)>0,\forall x\in R\setminus \left\{–\frac{b}{2a}\right\}$
$∆>0$	$af\left(x\right)>0,\forall x\in \left(–\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$
	$af\left(x\right)<0,\forall x\in \left(x_1;x_2\right)$

2. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho f (x) =  $a{x}^2+bx+c$ (a khác 0). Nếu có số $\alpha$ thỏa mãn a. f ($\alpha$) < 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và $x_1<\alpha <x_2$

Hệ quả

1. a. f (x) < 0 $\iff ∆>0 và x_1<\alpha <x_2$
2. a. f (x) = 0 $\iff \alpha$là nghiệm của f (x)
3. a. f ($\alpha$) > 0 và $∆>0\Rightarrow \alpha \notin \left[x_1;x_2\right]$

$\alpha <x_1<x_2 khi\frac{S}{2}>\alpha$

$x_1<x_2<\alpha khi \frac{S}{2}<\alpha$

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:

f (x) = $3x^2+2x–5$

ta có $∆=b^2–4ac=2^2–4.3.\left(–5\right)=27>0$

→ phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm

$$\begin{gathered} x_1=\frac{–5}{3} \\ {x}_2=1 \end{gathered}$$

Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”

x	$–\infty$	$\raisebox{1ex}{$–5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.$		1	$+\infty$
f(x)	+	0	–	0	+

Như vậy:

f (x) < 0 → x $\in \left(–\frac{5}{3};1\right)$

f (x) > 0 → x $\in \left(–\infty ;–\frac{5}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Bài toán 2:  Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) $5x^2–3x+1$

b) $–2x^2+3x+5$

c) $x^2+12x+36$

d) (2x – 3)(x + 5)

Hướng dẫn

a) Tam thức f(x) = $5x^2–3x+1$ có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = $–2x^2+3x+5$ có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1=–1; x_2=\frac{5}{2}$, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu sau

[external_link offset=2]

x	–$\infty$	-1		$\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$	+$\infty$
f(x)	–	0	+	0	–

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; $\frac{5}{2}$)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = $\frac{5}{2}$

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ ($\frac{5}{2}$; +∞)

c) Tam thức f(x) = $x^2+12x+36$ có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

Như vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = $2x^2$+ 7x – 15

Tam thức f(x) = $2x^2$ + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{3}{2}; x_2=–5$, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

x	$–\infty$	-5		$\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$	$+\infty$
f (x)	+	0	–	0	+

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ ($\frac{3}{2}$; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = $\frac{3}{2}$

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; $\frac{3}{2}$)

Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = m$x^2$+ (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn $x_1<2<x_2$

Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn $x_1<2<x_2$ ⇔ $–\frac{1}{2}$

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = $x^2$– 2mx + m = 0 và thoả mãn $x_1, x_2$ thuộc (-1;3)

Đáp án: $–\frac{1}{3}$ <_m3c_0 _hoe1bab7_c=””>$\frac{9}{5}$

Bài 3: Tìm m sao cho f (x)= 2$x^2$– 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0 ∀x ∈ R

Đáp án: 1 –  $\sqrt{2}$ < m < 1 + $\sqrt{2}$

Bài 4: Tìm m sao cho f (x)= (m-1)$x^2$– (m – 1)x + 1- 2m ≤ 0 ∀x ∈ R

Đáp án: $\frac{5}{9}\le m\le 1$

Trên đây là những công thức dấu của tam thức bậc hai và một số bài tập ví dụ, đây là kiến thức vô cùng căn bản được học sau bài học cách giải phương trình bậc hai nằm trong chuyên đề về hàm số. Các bạn nên chăm chỉ thực hành mỗi ngày để nắm chắc các quy tắc nhé!

Cách tìm điểm uốn đồ thị hàm số : Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.